在诸多参数识别方法中，最常用的莫过于基于贝叶斯(Bayes)估计法。通过给定不同的先验信息，贝叶斯估计可退化为很多不同类型的参数估计方法，比如最大似然(Maximum Likelihood)估计法、加权最小二乘(Weighted Least Square)法、常规最小二乘(Least Square)法等。其中，常规最小二乘法由于不需要任何先验信息和经验参数，而且推导和实现都很简便，因此往往成为进行参数识别的首选。为了提高损伤识别的灵敏度，本章将给出一套基于结构的部分频率和模态片段的常规最小二乘法的参数识别方法。

在忽略阻尼的情况下，描述一个结构的动力学有限元格式可表达为：

式中：λ为结构的任一阶圆频率；X为对应的模态；K为结构刚度阵；M为结构质量阵；参数p(通常选择的参数为弹性模量E、泊松比ν、密度ρ、截面面积A等)用于反映结构的损伤情况。

如果要求在有限元模型中实际传感器的布置位置上给定一个节点。这样可以通过一个选择矩阵S，从模型的计算结果中提取出与实际传感器对应的计算值，由此即可定义频率和模态的残差：

式中： 和 分别是传感器测量得到的频率和模态。按照常规最小二乘法的步骤，可以将损伤参数p的识别问题归结为一个优化问题：

式中：D_p是参数的可行域。

上述问题可以用高斯牛顿法迭代求解：

式中：J为频率和模态对参数p求导所得的雅可比矩阵，可以采用解析法或差分法求解，J＝ 。

上式的收敛条件可定义为两次迭代之间频率或模态的相对变化量小于某给定值，或者是参数的最大相对变化小于某给定值。

模态可以按照不同的归一化方式描述，其本身只反映相对大小而不反映绝对值。如果模态出现等大的相对偏差，最终获得的模态与原模态是相同的，也即传感器相同的相对误差对模态的测量没有影响。因此，一般意义上的误差定义对于模态是并不合适的。对于模态，由于其没有绝对大小的概念，因此定义其绝对误差是不合理的。这里，定义模态的相对误差为：

式中： 为传感器测量得到的长归一化后的模态；X^*为真实的归一化后的模态。

对于频率则沿用传统定义，即频率的绝对误差为频率的测量值减去误差值，其相对误差为绝对误差与真实值的比。

按照式(5)给出的误差定义，在每个测量点上的偏差由于不能是固定百分比的偏差，因此我们假设在每个测量点上有相同大小的系统偏差。由此可得：

式中：Δ是使得α达到给定值的一个常数。

对于实际的情况，X^*是未知的，而 是已知的。这样需要由 反求X^*。我们知道若 是由式(6)获得的，那么∃c∈R，使得 。由X^*的模长为1可得：

式中：Δ为每个元素均为Δ的与 相同维数的向量。

联立式(7)和(8)可解得Δ和c，这样就可以求得 了。

测量点优化选择是一个典型的组合优化问题，然而在解决组合优化问题之前，必须可以对测量点组合的优劣进行评价。下面就给定一个评价各测量点组合优劣的标准，其基本思路来源于对第二章最小二乘法误差上界的估计。

首先，令测量值的绝对误差为ε，则

式中：λ^*、X^*为结构的真实频率和模态。由于参数识别过程实际上是对真实值，而不是测量值进行的(测量值由于带有误差而一般不符合力学模型)。因此，识别过程的残差向量R同时是参数和绝对误差的函数。于是，定义第k次参数估计的偏差。

式中：p*为结构的真实参数。将式(4)定义的迭代关系记为p^(k)＝G(p^(k-1)，ε)代入式(10)，并以(p^*, 0)为起点，使用中值定理可得：

式中：（p1，ε1）和（p2，ε2）分别是介于(p^*，0)和（p^（k-1），ε）的一点。

为了方便下面的推导，定义：

于是有：

若L_Ω<1，则：

这样，在L_Ω<1的条件下，就可以使用误差上界作为评价测量点组合的优劣程度的标准。而且L_Ω越小，迭代算法的收敛速度也越快。

上述误差上界估计过程中，需要给定L_Ω和L_A，这可以通过将(11)式中的（p1，ε1）和（p2，ε2）设为(p^*，0)完成，这实际上是在(p^*，0)展开h^(k)并略去高阶项的结果。

在诸多测量点优化算法中，最简单的是每次增加或减少一个点，以获得最优的测量点组合。这一算法虽然效率很高，但是由于局部最优组合的存在，往往不能获得理想的测量点组合。而现代启发式算法虽然声称可以获得“全局”最优解，但是由于这些方法中的参数难以确定，而且计算时间往往很长，在实际的参数识别中也不便使用。我们在针对多传感器的参数识别问题上，做过深入的研究，提出了一套行之有效的启发式优化算法。在大多数情况下，这一算法可以相对高效地获得较为理想的测量点组合，并经过了大量数值算例和实验数据的测试。这里将沿用该启发式优化算法，同时在算法结构中加入误差更新的步骤，试图使算法可以找出更合理的测量点优化组合，获得更良好的参数识别结果。

测量点优化算法的基本操作是局部搜索算法，但若仅使用这些局部搜索技术往往优化过程很快地陷入局部最优解。

在进行局部搜索之前需要对测量点集合进行适当的划分，在没有特殊的先验信息的条件下，没有理由将更多的传感器分给某个子集。因此，将总的测量点平均划分是最为合理的选择。设频率和各阶模态的测量点总数为N_m，需要识别的参数个数为N_p，那么将初始的传感器集合划分为 个子集合，其中 为向上取整运算符。这样可知除最后一个子集合外，其他子集合的测量点个数均为N_p，最后一个子集合的个数则小于等于N_p。顺序计算各个子集合的L_Ω和偏差B，将L_Ω<1的集合中偏差B最小的一个记为最优集合S_best。这样就完成了测量点集合的划分工作。

这一部分过程与上例类似，故主要说明操作步骤。本算例采用换流变小母线架构，为了简化，没有考虑顶端的锥形结构。基本尺寸为：两个相邻塔身中线之间的间距为10.5 m；塔身梯形段顶面距离地面12 m，梯形段底面边长3 m，宽1.5 m；竖直段最高位置距地面21 m，截面边长为1.5 m；连接两个塔身的连接段截面边长1.5 m，两端各自向塔身外侧延伸5.5 m。其基本结构可以参照图1中的有限元模型。

图  1  母线架构模型

Figure 1.  Structure Model of Bus Gantry

选择单元类型为BEAM 188，选择Material Models为线弹性模型，弹性模量设为210 GPa，泊松比设为0.3，密度设为7 840 kg/m³，为简单起见，截面选择160 mm×12 mm的等边角钢。输入172个节点的坐标信息，并连接成梁单元，完全固定结构与地面的连接处，即可得到图2所示的有限元模型。本例将结构区域分为10块进行分析以获得10组独立的材料参数(图2)。

图  2  在第2个材料区域上模拟1处损伤

Figure 2.  Simulate a Damage in the Second Materialarea

损伤单独分成一个区，将结构剩余的部分分为另一个区，来模拟一处损伤，本例的损伤取在第2个材料区域中的一部分梁上(图3)。损伤位置处的弹性模量取为200 GPa，相对于结构的其它位置而言有10 GPa的刚度下降。

对该受损的有限元模型进行5阶模态分析，可以得到5个频率信息和各个节点的振型信息。最终沿着塔高方向和水平连接段的水平方向取定34个测量点，只考虑前三阶模态，并且结合健康结构的振型，每阶模态上只考虑幅值最大的方向上的振型数据，按照本软件的输入格式给出测量数据文件，而且这些数据不带误差的。

启动变电架构损伤检测软件，直接进行不启动测点优化功能的反分析，经过3步迭代即可算得不含误差情形下各材料区域的等效弹性模量(见表1)。由于数据不含有任何误差，该值可视为等效弹性模量的准确值。由表1可知，损伤发生的区域正好是预计的第2个材料区域。

通过给测量数据文件施加适当的误差，观察反分析过程的稳定性，并考察测点优化对等效弹性模量辨识结果的影响。

所有频率信息叠加上了0.01 Hz的误差，给每个振型信息叠加了1 E-5的误差，然后对振型信息按模态和方向进行了归一化，并与无误差的归一化测量数据相减，得到振型误差。以此归一化后的测量数据文件作为输入，仍然选用同样的ANSYS模型文件，分别按照关闭和开启测点优化进行反分析，考察测点优化的作用，本例在测点优化中将前两阶频率设为信任值。反分析结果与不含误差的损伤检测结果一道列在表1中。

由表1可知，在已给定的误差水平下，含误差无测点优化与含误差测点优化都辨识出MAT2的等效弹性模量辨识结果都是最低的。但两者与准确值之间的偏差相差很大，前者与准确值偏差的无穷范数为6.16 E9，远大于后者的2.82 E9。可见测点优化对辨识结果有了显著的改善。不过，由于有测量误差的影响，再加之损伤程度较低，从等效刚度辨识结果中已经很难发现损伤。

以上两个算例验证了本软件的有效性，并且当结构比较复杂时，测点优化功能能够显著地提高检测结果的准确性。

本文基于频率和模态推导了变电构架结构的损失识别的理论模型。且充分考虑了测量误差对损伤识别结果的影响。为了尽量提高损伤识别的精度，我们采取了以下措施：

1)采用部分频率和模态片段来进行损伤识别，提高了灵敏度。

2)采用测量点优化选择算法来保证损伤识别过程的适定性。

3)采用交替进行测量点优化选择、损伤识别和误差更新操作来最大限度地减少先验信息不准确所带来的识别误差。