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https://www.energychina.press/ 传统的无功优化问题通常为确定性优化问题，该优化问题关系到系统的安全性和经济性［1］，但电力系统本质上具有不确定性，这种不确定性包括网络结构、负荷功率等，尤其是在如今大力发展新能源的情况下，光伏、风电等的间歇性出力，使这种不确定性越来越无法被忽略。这些不确定因素的存在，使电力系统运行在安全限范围附近，电压越限和崩溃更有可能发生。对系统进行不确定性无功优化（Uncertain reactive power optimization，URPO），可以提高系统的电压稳定裕度，使电压保持在期望的范围内，并降低网损。
针对不确定性无功优化问题，国内外学者做了大量研究并得到了许多新的成果。目前求解该问题的方法主要包括随机规划法、鲁棒优化法和区间优化法。在随机规划法中，不确定参数为随机变量，需分析其概率分布，建立无功优化的期望模型，采用智能算法进行求解，文献［2］提出一种基于数据驱动的两阶段随机规划模型，将主问题分解为子问题并行求解，文献［3］的两阶段随机规划模型中，采用场景替换概率机会约束，虽然上述方法在一定程度上简化了模型求解，但仍需要大量数据样本，且两阶段最优无法保证全局的最优。文献［4］提出一种多目标的无功优化调度问题，同时考虑有功损耗和电压偏差最小化，使用蒙特卡洛模拟近似不确定参数的概率分布，采用NSGA-II优化算法求解，该方法需要大量数据且模拟时间较长，求解效率有待提高。
鲁棒优化法只需给定不确定集，不需要假设概率分布函数。文献［5］采用一种改进的交替方向乘子法求解两级分布式鲁棒优化模型，需要一系列线性约束逼近二阶锥潮流约束，线性近似无法准确反映系统运行情况，方案可行性难以保证。在提高算法精度上，文献［6］提出了一种考虑不确定PV积分的有源配电网多周期无功优化的二阶锥松弛分解算法，二阶锥优化虽比线性化近似更加精确，但本质仍为近似逼近，模型精度仍然有待提高。
区间无功优化（interval uncertainty reactive power optimization，RPOIU）将不确定性数据表示成区间，具有建模方式简单，无需凸化或近似处理的优点。目前有采用区间线性近似的算法求解区间无功优化模型，通过区间泰勒展开一次线性逼近区间潮流方程［7］，虽提高了模型的求解效率，但是求解精度无法保证，因此文献［8］提出一种基于区间序列二次规划的无功优化算法提高模型的逼近精度，然而随着输入数据波动区间变大，该算法的收敛效果会变差，为了解决这个问题，文献［9］提出了一种基于安全限定义的区间无功优化算法。求解区间无功优化的另一思路是采用智能算法，文献［10］采用自适应遗传算法（adaptive genetic algorithm，AGA）求解区间无功优化模型，添加罚函数处理模型中的约束条件。遗传算法可有效处理离散变量，文献［11］采取多种群遗传算法优化求解含特殊负荷的不确定性配电网动态无功优化模型，通过移民操作增强寻优性能。文献［12］将遗传算法的适应度函数值进行改进，采用自适应的交叉和变异概率，与区间算术相结合，进行动态无功优化。文献［13］采用改进的NSGA-II算法求解含风电和光伏出力的无功优化模型，获得了较快的收敛速度。但是对于较大系统，遗传算法往往会遇到早熟收敛和收敛性能差的缺点。相对于遗传算法，粒子群算法原理简单，更易于实现，目前方法大多都是对粒子群算法进行改进，对惯性权重进行调整求解无功优化模型［14-16］。文献［17］将区间数应用于不确定性无功优化模型，采用粒子群算法进行求解，但是求解区间潮流方程所采用的Kraczyk_Moore区间迭代法求解精度较差，且常规粒子群算法容易陷入局部最优，同时缺乏处理离散变量的能力。
为克服现有不确定性无功优化算法的缺点，本文提出了一种基于区间建模的新能源电网无功优化算法。具体是用区间数描述新能源发电的不确定性，建立区间无功优化模型。为求解该模型，先采用优化场景法求解区间潮流方程，处理模型中非线性等式约束和区间数据，获取状态变量区间；然后对现有粒子群算法进行改进，增加局部寻优环节，提高算法寻优能力，并采用改进的粒子群算法（improved partical swarm optimization，IPSO）处理区间无功优化模型中的控制变量，获得能保障新能源电网电压安全的无功电压控制策略。通过采用IEEE 14节点和IEEE 30节点系统进行仿真分析，并与现有的算法进行对比，验证本文所提策略的有效性和优越性。
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无功优化是一种电压控制手段，系统的安全性和经济性是该优化问题的共同目标，在满足一定的物理约束和安全约束的条件下，通过改变发电机机端电压、变压器分接头变比和无功补偿装置来找到最优的无功电压分布。考虑不确定因素，无功优化问题是一个不确定性的非线性规划问题。
将不确定性数据用区间表示，状态变量（负荷电压、电压相角、发电机无功出力）视为区间，控制变量（变压器变比、无功补偿、发电机机端电压）视为实数，建立区间无功电压控制模型。网损为目标函数，目的使运行成本最小；潮流方程、物理及设备约束作为约束条件，保证系统在约束范围内安全运行，假设负荷和发电机有功出力在相应区间范围内变化，则极坐标形式下的区间无功电压控制模型可以表示为如下形式：
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(（1）) 式中：
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(（2）) (（3）) (（4）) (（5）) (（6）) (（7）) (（8）) (（9）) (（10）) (（11）) 式（2）为发电机节点潮流方程约束，式（3）为负荷节点潮流方程约束，式（4）为平衡节点潮流方程约束，其为等式约束条件，其中
式中：
式（2）中：
式（3）中：
式（4）中：
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将上述目标函数和约束条件采用向量和函数表示，式（1）～式（11）的区间无功优化模型可以表示为以下数学形式：
(（12）) 式中：
假设节点编号排列顺序为：平衡节点（1号），发电机节点（2～m），负荷节点（m+1～n）。n为系统所有节点个数，m为发电机节点数（包含平衡节点），r为无功补偿装置节点数，k为变压器台数，将含有无功补偿装置的负荷节点放在负荷节点的前一部分，则含有无功补偿装置的负荷节点编号为m+1～m+r。
根据上述排列顺序，可以得到状态变量：
(（13）) 控制变量：
(（14）) 式中：
在式（12）中，按照节点编号顺序重新列写潮流方程等式约束条件，则
(（15）) 上述表明区间无功优化模型是一个离散非凸的多目标非线性整数规划模型，其难点在于解决目标函数及约束条件中的区间变量。我们提出一种改进的粒子群算法求解区间无功优化模型。
1）目标函数
2）约束条件
3）数学模型
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为了求解区间无功优化模型，需要先求解区间潮流方程约束这一最复杂的区间非线性项，区间潮流的精度会直接影响到区间无功优化算法的结果，目前的区间数学和仿射方法都可以求解区间潮流，但是精度和算法效率上还存在着一些不足，为了提高精度和算法效率，本文采用一种基于优化场景法（optimizing-scenarios method，OSM）［18］的区间潮流算法。
基于OSM的区间潮流算法通过建立优化模型，直接获取潮流变量的区间。该模型为在所有可能的场景下，建立以潮流变量为目标函数（包括节点电压幅值、电压相角或传输功率）的最大化和最小化优化模型，通过场景寻优，可以得到各期望目标的上界和下界。
假设潮流方程表示为
将场景
(（16）) 和
(（17）) 式中：
将
(（18）) 模型（16）和（17）为连续的非线性规划，可采用内点法求解。
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PSO算法是一种进化计算技术，通过群体中个体之间的协作和信息共享来找到最优解。该算法模拟鸟群的觅食行为，将问题的搜索空间类比于鸟类的飞行空间，将每只鸟抽象为“粒子”，优化所需要寻找的最优解则等同于要寻找的食物。所有粒子都有一个由被优化函数决定的适应值（fitness value），每个粒子还有一个速度决定他们运动的方向和距离。PSO初始化为一群随机粒子，然后通过迭代找到最优解，在每一次迭代中，存在一个粒子本身找到的个体极值最优解pBest和整个种群找到的全局极值最优解gBest，粒子们通过跟踪两个“极值”来更新自己的位置。
每个粒子在n维空间中，位置表示为矢量
速度更新：
(（19）) 式中：
每个粒子速度限制范围为
位置更新：
(（20）) 为了提高搜索的准确性，SHI［19］等人对速度更新公式进行了修正，引入惯性权重因子：
(（21）) 式中：
(（22）) 式中：
t ——当前代数。
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粒子群优化算法是一种全局优化算法，随机初始化种群，具备较强的全局搜索能力，且搜索速度较快，但是不能充分利用系统中的反馈信息，局部寻优能力不足，粒子邻域内的最优值往往被忽略，容易陷入局部最优。为了克服这个问题，我们在粒子群算法中添加局部搜索，通过粒子邻域内的局部信息，以期找到可能存在的更优解，改进策略如图1所示。通过采用这种添加局部寻优的粒子群算法，很好地平衡了全局寻优和局部寻优之间的关系，使算法在保证收敛和收敛速度的同时，避免陷入局部最优，提高了算法精度。
Figure 1. Improved strategy of PSO
此改进方法的基本思想是在每一次迭代中，粒子本身找到个体极值之后，继续在一个小邻域内进行局部搜索，以期望能找到更优解，在每个粒子个体找到最优解之后，再进行全局搜索，找到目前为止最好的全局最优解。粒子进行局部搜索找到的新的个体最优解的表达式为：
(（23）) 式中：
step ——局部搜索的初始步长；
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变压器变比和无功补偿电容均为离散变量，而上述普通粒子群算法的粒子初始位置、更新速度都是连续函数，并没有考虑离散变量的处理。遗传算法直接对可行解编码操作，可方便处理离散变量，因此本文采用遗传算法优化离散变量。
在粒子群算法中引入离散变量的交叉操作，分别将粒子个体与本身进行交叉，粒子与个体最优值pbest进行交叉，粒子与全局最优值gbest进行交叉。假设需要进行处理的离散变量为
(（24）) 式中：
c ——区间［0，1］中随机产生的一个数；
对交叉操作的结果取整，替换群体中相应的个体，即
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粒子群算法具有并行性，可以对群体中的多个个体同时进行处理。在模型求解中，变量分为状态变量和控制变量，控制变量的值形成无功电压控制策略，因此粒子群算法的微粒由一组控制变量组成，且都有一个区间网损值与之相对应，为了简化多目标问题，可取网损中点值
基于改进粒子群算法的总体思路是，先产生初始粒子群，包括随机位置和速度；再对每一组控制变量，判断其对应的状态变量区间是否满足约束条件；然后寻找每个微粒的pbest，在pbest的搜寻过程中，加入局部搜索，提高搜索精度；之后寻找到目前为止的gbest；一次迭代完成后调整微粒的速度和位置。重复上述操作，到达最大迭代次数时，停止迭代，输出最后一次迭代的gbest，即为区间无功优化问题的最优解。
根据上述思路，基于改进粒子群算法的区间无功优化算法步骤如下所示：
1）参数设置。包括粒子群算法最大迭代次数Size；粒子群规模M；个体学习因子c1；全局学习因子c2；惯性权重初始值
2）随机模拟产生满足控制变量约束的连续和离散变量作为初始种群，通过区间潮流算法判断状态变量
(（25）) 式中：
则区间无功优化模型中的不等式约束条件
(（26）) 3）确定微粒的初始位置、速度和适应值。微粒的初始位置由添加罚函数的目标函数随机产生，初始速度取为初始位置的
(（27）) 4）将每个粒子当前位置的适应值
(（28）) 5）在初步找到个体最佳位置之后，查找在该位置邻域内是否存在比初步搜寻解更优的位置，如果存在更优位置，则用该位置更新之前找到的pbest，如果不存在更优位置，则保留原pbest。
6）将每个粒子历史最优适应值与群体内全局最优位置的适应值做比较，如果更好，用其更新全局最优位置。
7）更新粒子的速度和位置。
8）重复第三步～第七步，直至达到最大迭代次数。
通过以上步骤可以获得满足约束条件并使网损中点值最小的无功优化模型的电压控制策略，算法流程图如图2所示。
Figure 2. Interval reactive power optimization algorithm flow based on IPSO
2.1 区间潮流计算
2.2 改进的粒子群算法
1）传统粒子群算法
2）改进粒子群算法
a）添加局部搜索
b）离散变量的处理
2.3 模型求解步骤
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为了验证本文所提方法的有效性和优越性，采用IEEE 14节点和IEEE 30节点进行算例分析。对算例中节点编号进行重新排序为：平衡节点，发电机节点，负荷节点。参数采用标幺值，基准功率100 MVA。在区间潮流计算中，罚函数的惩罚系数β=10 000，对于优化场景中的内点法，其参数设置为收敛精度ε=10-6，中心参数δ=0.1。
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本算例将改进粒子群算法与自适应遗传算法对比。IEEE 14节点系统包含17条传输线路，5台发电机（1台平衡机组和4台新能源发电机组），3台变压器和1个无功补偿装置。新能源发电机组有功出力区间如表1所示，负荷节点的有功和无功波动区间如表2所示。其中，变压器变比范围为0.9～1.1 p.u.，步长为0.05；无功补偿电容投切范围为0～0.5 p.u.，步长为0.1。负荷节点电压范围设为0.9～1.1 p.u.。粒子群算法和遗传算法的最大迭代次数Size=120，种群规模M=50，改进粒子群算法中c1=c2=2，ωini=0.9，ωend=0.1；自适应遗传算法中个体间的初始变异概率
节点编号 新能源机组有功出力区间 2 ［0.24， 0.36］ 3 ［0.16， 0.24］ 6 ［0.16， 0.24］ 8 ［0.144， 0.216］ Table 1.
Active power output interval of new energy generator in IEEE 14 system （p.u.） 节点编号 有功负荷区间 无功负荷区间 4 ［0.382 4， 0.573 6］ ［-0.046 8， -0.031 2］ 5 ［0.060 8， 0.091 2］ ［0.012 8， 0.019 2］ 7 0 0 9 ［0.236 0， 0.354 0］ ［0.132 8， 0.199 2］ 10 ［0.072 0， 0.108 0］ ［0.046 4， 0.069 6］ 11 ［0.028 0， 0.042 0］ ［0.012 8， 0.019 2］ 12 ［0.048 8， 0.073 2］ ［0.012 8， 0.019 2］ 13 ［0.108 0， 0.162 0］ ［0.046 4， 0.069 6］ 14 ［0.119 2， 0.178 8］ ［0.04， 0.06］ Table 2.
Active and reactive load intervals in IEEE 14 system 根据上述参数设置，采用改进粒子群算法和自适应遗传算法求解区间无功优化模型，在得到无功电压控制策略之后，采用区间潮流算法获取状态变量的区间，如图3和图4所示。
Figure 3. Optimized voltage range of load nodes by IPSO and AGA
Figure 4. Reactive power output interval of generator by IPSO and AGA
图3表示负荷节点电压区间，从图中可知两种方法得到的电压控制策略均可保证节点电压范围在安全限以内，同时改进粒子群算法得到的负荷节点电压范围上下边界值均大于自适应遗传算法。图4表示发电机无功出力区间，可知两种方法均可保证无功出力在安全范围内。
两种区间无功优化算法的迭代收敛过程如图5所示。从图中可知两种算法最终均会收敛到期望目标，其中改进粒子群算法寻优能力更强，目标网损值更小。同时表3给出了两种算法得到的目标函数的具体值，从表中可以发现改进粒子群算法得到的网损中点值更小，具有更高的求解精度。
Figure 5. Iterative process of interval reactive power optimization algorithm based on IPSO and AGA
优化方法 网损中点值/（p.u.） 改进粒子群的区间无功优化 0.075 3 自适应遗传算法区间无功优化 0.083 9 Table 3.
Objective function value of IPSO and AGA 在实际中，不同的天气情况对应着不同的输入数据波动范围，为了测试模型在功率数据大幅度波动时的适应能力，设置负荷和发电机组有功出力波动区间范围如表4和表5所示。
节点编号 新能源机组有功出力区间 2 ［0.18， 0.42］ 3 ［0.12， 0.28］ 6 ［0.12， 0.28］ 8 ［0.108， 0.252］ Table 4.
The large fluctuation range of active power output of new energy generator set in IEEE 14 system 节点编号 有功负荷区间 无功负荷区间 4 ［0.286 8， 0.669 2］ ［－0.054 6， －0.023 4］ 5 ［0.045 6， 0.106 4］ ［0.009 6， 0.022 4］ 7 0 0 9 ［0.177 0， 0.413 0］ ［0.099 6， 0.232 4］ 10 ［0.054 0， 0.126 0］ ［0.034 8， 0.081 2］ 11 ［0.021 0， 0.049 0］ ［0.009 6， 0.022 4］ 12 ［0.036 6， 0.085 4］ ［0.009 6， 0.022 4］ 13 ［0.081 0， 0.189 0］ ［0.034 8， 0.081 2］ 14 ［0.089 4， 0.208 6］ ［0.03， 0.07］ Table 5.
The large fluctuation range of active and reactive load in IEEE 14 system 在上述波动范围下，设置自适应遗传算法中目标函数的惩罚系数β=1 000，两种算法得到的状态变量区间如图6和图7所示，迭代收敛过程如图8所示。
Figure 6. Optimized voltage range of load nodes by IPSO and AGA in large fluctuation range of input data
Figure 7. Reactive power output interval of generator by IPSO and AGA in large fluctuation range of input data
Figure 8. Iterative process of interval reactive power optimization algorithm based on IPSO and AGA in large fluctuation range of input data
从图6和图7中可以看出，在输入数据大幅度波动区间下，该模型和策略仍可保证节点电压及发电机无功出力均在安全范围内，因此可验证模型在保证系统安全性方面具有较强的适应能力。从图8可以看出，在输入数据大范围波动下，模型可以正常求解且最终达到收敛，同样改进粒子群算法寻优效果更佳，因此文章所提区间无功优化策略可广泛适应各种输入功率区间，具有较强的适应性和有效性。
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IEEE30节点系统有37条传输线路，6台发电机（1台平衡机组，5台新能源发电机组），4台变压器和2个无功补偿装置，拓扑结构如图9所示，新能源发电机组有功出力区间如表4所示。其中，变压器变比范围为0.9～1.1 p.u.，步长为0.05；节点10处无功补偿电容投切范围为0～0.5 p.u.，步长为0.1；节点24处无功补偿电容投切范围为0～0.1 p.u.，步长为0.02；负荷节点电压范围为0.95～1.05 p.u.。
Figure 9. IEEE 30-node system topology diagram
节点编号 新能源机组有功出力区间 2 ［0.64， 0.96］ 5 ［0.40， 0.60］ 8 ［0.16， 0.24］ 11 ［0.16， 0.24］ 13 ［0.16， 0.24］ Table 4.
Active power output interval of new energy generator in IEEE 30 system 根据上述参数设置，采用改进粒子群区间无功优化算法求解IEEE 30节点下的不确定无功优化模型，与普通粒子群算法进行对比。在优化后的无功电压控制策略下，采用区间潮流算法得到状态变量区间如图10和图11所示。图10为负荷节点电压（p.u.）区间，图11为发电机无功出力区间（p.u.）。从图中可知，两种方法得到的负荷节点电压和发电机无功出力区间均在安全限范围以内，这是由于区间无功优化算法判断约束条件时可保证状态变量区间满足约束。另外，普通粒子群算法得到的电压和发电机无功出力区间范围在大部分节点处更宽，说明结果更保守。图12为两种算法迭代收敛过程，相比之下改进粒子群算法收敛速度更快，从两种算法迭代达到收敛时的局部放大图可以明显地看出，改进粒子群算法优化得到的目标函数值更小，具有更高的求解精度，总体寻优效果更佳。
Figure 10. Optimized voltage range of load nodes by IPSO and PSO
Figure 11. Reactive power output interval of generator by IPSO and PSO
Figure 12. Iterative process of interval reactive power optimization algorithm based on IPSO and PSO
表5给出了两种算法得到的具体目标函数值，可以发现改进的粒子群算法求得的网损中点值更小，寻优能力更强。
综上所述，文章所提基于区间建模的新能源电网无功优化策略具有较强的适应性和有效性，可适应不同输入数据区间波动范围，适应不同新能源电网系统；同时该策略中所采用的改进粒子群算法相比于自适应遗传算法和普通粒子群算法都具有更优的收敛性能和寻优能力，得到的目标函数值更小，验证了该策略的优越性。
优化方法 网损中点值/（p.u.） 改进粒子群的区间无功优化 0.059 74 普通粒子群的区间无功优化 0.064 73 Table 5.
Objective function value of IPSO and PSO
1）IEEE 14节点
2）IEEE 30节点
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本文提出了一种基于区间建模的新能源电网无功优化策略，采用改进粒子群的区间无功优化算法，解决大规模新能源并网条件下的不确定性无功优化问题。首先构造了将不确定性数据用区间表示的区间无功电压控制模型，状态变量为区间，控制变量为实数变量；然后提出了一种改进的粒子群算法求解区间无功优化模型，在这之前采用基于场景优化的区间潮流计算获取状态变量的区间，这些变量区间在粒子群算法中用于约束条件的判断。粒子群算法具有较强的全局搜索能力，相比于遗传算法操作更简单，收敛速度更快，但是局部搜索能力不足，容易陷入局部最优，所以对粒子群算法进行改进，在个体极值的搜索中添加局部搜索过程，提高算法的寻优能力；同时采用遗传算法的交叉操作加入对离散变量的处理。仿真结果和分析表明，所提出的改进粒子群区间无功优化策略具有较强的适应性，且比自适应遗传算法和普通粒子群算法的收敛性能更好，寻优能力更强，可有效求解区间无功优化模型和处理模型中的离散变量。
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